上一篇《函数的连续性与间断点》

连续函数的和、积及商的连续性

定理1

有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

定理2

有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。

定理3

两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数,只要分母在该点不为零。

反函数与复合函数的连续性

定理4

如果函数 \(y = f(x)\) 在区间 \(I_x\) 上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数 \(x = \varphi(y)\) 也在对应的区间 \(I_y = \{ y | y = f(x), x \in I_x \}\) 单调增加(单调减少)且连续。

定理5

设函数 \(u = \varphi(x)\) \(x \to x_0\) 时极限存在且等于 \(a\) ,即 \(\lim_{x \to x_0} \varphi (x) = a\) ,而函数 \(y = f(u)\) 在点 \(u = a\) 连续,那么复合函数 \(y = f[ \varphi(x) ]\) \(x \to x_0\) 时的极限存在且等于 \(f(a)\) ),即 \(\lim_{x \to x_0}f[ \varphi(x) ] = f(a)\)

定理6

设函数 \(y = \varphi(x)\) 在点 \(x_0\) 连续,且 \(\phi(x_0) = u_0\) ,而函数 \(y = f(u)\) 在点 \(u = u_0\) u=u0连续,那么复合函数 \(y = f[ \phi (x) ]\) 在点 \(x = x_0\) 也是连续的。

初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。