连续函数的和、积及商的连续性
定理1
有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。
定理2
有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。
定理3
两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。
反函数与复合函数的连续性
定理4
如果函数 \(y = f(x)\) 在区间 \(I_x\) 上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数 \(x = \varphi(y)\) 也在对应的区间 \(I_y = \{ y | y = f(x), x \in I_x \}\) 单调增加(单调减少)且连续。
定理5
设函数 \(u = \varphi(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时极限存在且等于 \(a\) ，即 \(\lim_{x \to x_0} \varphi (x) = a\) ，而函数 \(y = f(u)\) 在点 \(u = a\) 连续，那么复合函数 \(y = f[ \varphi(x) ]\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限存在且等于 \(f(a)\) )，即 \(\lim_{x \to x_0}f[ \varphi(x) ] = f(a)\) 。
定理6
设函数 \(y = \varphi(x)\) 在点 \(x_0\) 连续，且 \(\phi(x_0) = u_0\) ，而函数 \(y = f(u)\) 在点 \(u = u_0\) u=u0连续，那么复合函数 \(y = f[ \phi (x) ]\) 在点 \(x = x_0\) 也是连续的。
初等函数的连续性
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。