最大值和最小值定理
定理1（最大值和最小值定理）
在闭区间上连续的函数在该区间一定有最大值和最小值。
定理2（有界性定理）
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
介值定理
定理3（零点定理）
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号，即 \(f(a) \cdot f(b) \lt 0\) ，那么在开区间 \((a, b)\) 内至少有函数 \(f(x)\) 的一个零点，即至少有一点 \(\xi (a \lt \xi \lt b)\) ，使得 \(f(\xi) = 0\) 。
定理4（介值定理）
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([ a, b ]\) 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 \(f(a) = \bm A\) 及 \(f(b) = \bm B\) ，那么对于 \(\bm A\) 与 \(\bm B\) 之间的任意一个数 \(\bm C\) ，在开区间 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ，使得 \(f(\xi) = \bm C, (a \lt \xi \lt b) 0\) .
推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 \(\bm M\) 和最小值 \(m\) 之间的任何值。
一致连续性
定义
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\bm I\) 上有定义。对于任意给定的正数 \(\epsilon\) ，总存在着正数 \(\delta\) ，使得对于区间 \(\bm I\) 上的任意两点 \(x_1\) , \(x_2\) ，当 \(| x_1 - x_2 | \lt \delta\) 时，就有 \(| f(x_1) - f(x_2) | \lt \epsilon\) ，那么称函数 \(f(x)\) 在区间I \(\bm I\) 是一致连续的。
定理5（一致连续性定理）
如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，那么它在该区间上一致连续。