上一篇《连续函数的运算与初等函数的连续性》

最大值和最小值定理

定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间一定有最大值和最小值。

定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

介值定理

定理3(零点定理)

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续,且 \(f(a)\) \(f(b)\) 异号,即 \(f(a) \cdot f(b) \lt 0\) ,那么在开区间 \((a, b)\) 内至少有函数 \(f(x)\) 的一个零点,即至少有一点 \(\xi (a \lt \xi \lt b)\) ,使得 \(f(\xi) = 0\)

定理4(介值定理)

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([ a, b ]\) 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值 \(f(a) = \bm A\) \(f(b) = \bm B\) ,那么对于 \(\bm A\) \(\bm B\) 之间的任意一个数 \(\bm C\) ,在开区间 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ,使得 \(f(\xi) = \bm C, (a \lt \xi \lt b) 0\) .

推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 \(\bm M\) 和最小值 \(m\) 之间的任何值。

一致连续性

定义

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\bm I\) 上有定义。对于任意给定的正数 \(\epsilon\) ,总存在着正数 \(\delta\) ,使得对于区间 \(\bm I\) 上的任意两点 \(x_1\) , \(x_2\) ,当 \(| x_1 - x_2 | \lt \delta\) 时,就有 \(| f(x_1) - f(x_2) | \lt \epsilon\) ,那么称函数 \(f(x)\) 在区间I \(\bm I\) 是一致连续的。

定理5(一致连续性定理)

如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续,那么它在该区间上一致连续。