函数的连续性
定义
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域有定义，如果当自变量的增量 \(\triangle x = x - x_0\) 趋于零时，对应的函数的增量 \(\triangle y = f(x_0 + \triangle x ) - f(x_0)\) 也趋于零，那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 上连续。
另一种描述
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域有定义，如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限存在，且等于它在点 \(x_0\) 处的函数值 \(f(x_0)\) ，即： \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) ，那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续。
ε－δ描述
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域有定义，如果对于任意给定的正数 \(x_0\) ，总存在着正数 \(\delta\) ，使得符合不等式 \(| x - x_0 | \lt \delta\) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(| f(x) - f(x_0) | \lt \epsilon\) ，那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续。
如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0 - 0)\) ，即 \(f(x_0 - 0) = f (x_0)\) ，就说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 左连续。
如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0 + 0)\) ，即 \(f(x_0 + 0) = f (x_0)\) ，就说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 右连续。
间断点
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 某去心邻域有定义，如果 \(f(x)\) 有下列三种情形之一：
(1) 在 \(x = x_0\) 没有定义；
(2) 虽在 \(x_0\) 有定义，但是 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 不存在；
(3) 虽在 \(x_0\) 有定义且 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 存在，但是 \(\lim_{x \to x_0}f(x) \not = f(x_0)\) ，则函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处不连续， \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点。
几种常见的间断点：
- 无穷间断点
\(x = \dfrac{\pi}{2}\) 是函数 \(y = \tan x\) 的无穷间断点，因为函数在该值处没有定义。
- 振荡间断点
\(y = \sin{\dfrac{1}{x}}\) 在点 \(x = 0\) 时，函数值在 \(+1\) 和 \(-1\) 之间变动无穷多次。
- 可去间断点
函数 \(y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在点 \(x = 1\) 没有定义，所以函数在 \(x = 1\) 不连续，但函数在该点处的极限存在且等于 \(2\) 。但如果补充定义 \(x = 1\) 时， \(y = 2\) ，则函数变得连续。所以 \(x = 1\) 称为该函数的可去间断点。
- 跳跃间断点
类似于可去简单点，但函数在该点处的左右极限不想等。
譬如函数：
\[f(x) = \left \lbrace \begin{matrix} x - 1, x \lt 0; \\ 0, x = 0; \\ x + 1, x \gt 0; \end{matrix} \right.\]在点 \(x = 0\) 处，左极限是 \(-1\) ，右极限为 \(1\) 。这时称点 \(x = 0\) 是跳跃间断点。
第一类间断点 如果点 \(x_0\) 是函数的间断点，但左极限f(x0-0)以及右极限f(x0+0)都存在，则点x0是函数 \(f(x)\) 的第一类间断点。
第二类间断点 不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。