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函数的连续性

定义

设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域有定义,如果当自变量的增量 \(\triangle x = x - x_0\) 趋于零时,对应的函数的增量 \(\triangle y = f(x_0 + \triangle x ) - f(x_0)\) 也趋于零,那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续

另一种描述

设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域有定义,如果函数 \(f(x)\) \(x \to x_0\) 时的极限存在,且等于它在点 \(x_0\) 处的函数值 \(f(x_0)\) ,即: \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\) ,那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续。

ε-δ描述

设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域有定义,如果对于任意给定的正数 \(x_0\) ,总存在着正数 \(\delta\) ,使得符合不等式 \(| x - x_0 | \lt \delta\) 的一切 \(x\) ,对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(| f(x) - f(x_0) | \lt \epsilon\) ,那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续。

如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0 - 0)\) ,即 \(f(x_0 - 0) = f (x_0)\) ,就说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 左连续。

如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0 + 0)\) ,即 \(f(x_0 + 0) = f (x_0)\) ,就说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 右连续。

间断点

设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 某去心邻域有定义,如果 \(f(x)\) 有下列三种情形之一:
(1) 在 \(x = x_0\) 没有定义;
(2) 虽在 \(x_0\) 有定义,但是 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 不存在;
(3) 虽在 \(x_0\) 有定义且 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 存在,但是 \(\lim_{x \to x_0}f(x) \not = f(x_0)\) ,则函数 \(f(x)\) \(x_0\) 处不连续, \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点。

几种常见的间断点:

  • 无穷间断点

\(x = \dfrac{\pi}{2}\) 是函数 \(y = \tan x\) 的无穷间断点,因为函数在该值处没有定义。

  • 振荡间断点

\(y = \sin{\dfrac{1}{x}}\) 在点 \(x = 0\) 时,函数值在 \(+1\) \(-1\) 之间变动无穷多次。

  • 可去间断点

函数 \(y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在点 \(x = 1\) 没有定义,所以函数在 \(x = 1\) 不连续,但函数在该点处的极限存在且等于 \(2\) 。但如果补充定义 \(x = 1\) 时, \(y = 2\) ,则函数变得连续。所以 \(x = 1\) 称为该函数的可去间断点。

  • 跳跃间断点

类似于可去简单点,但函数在该点处的左右极限不想等。

譬如函数:

\[f(x) = \left \lbrace \begin{matrix} x - 1, x \lt 0; \\ 0, x = 0; \\ x + 1, x \gt 0; \end{matrix} \right.\]

在点 \(x = 0\) 处,左极限是 \(-1\) ,右极限为 \(1\) 。这时称点 \(x = 0\) 是跳跃间断点。

第一类间断点 如果点 \(x_0\) 是函数的间断点,但左极限f(x0-0)以及右极限f(x0+0)都存在,则点x0是函数 \(f(x)\) 的第一类间断点。

第二类间断点 不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点。