上一篇《极限存在准则以及两个重要极限》

定义

  • 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = 0\) ,就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小,记作 \(\beta = o(\alpha)\)
  • 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = \infin\) ,就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小。
  • 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = C \not = 0\) ,就说 \(\beta\) \(\alpha\) 是同阶的无穷小。
  • 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha ^ k} = C \not = 0, k \gt 0\) ,就说 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) \(k\) 阶无穷小。
  • 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = 1\) ,就说 \(\beta\) \(\beta\) 是等阶的无穷小,记作 \(\beta \text{\textasciitilde} \alpha\)

定理1

\(\beta\) \(\alpha\) 是等阶无穷小的充分必要条件为 \(\beta = \alpha + o(\alpha)\)

定理2

\(\alpha \text{\textasciitilde} \alpha '\) \(\beta \text{\textasciitilde} \beta '\) ,且 \(\lim \dfrac{\beta '}{\alpha '}\) ,则 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = \lim \dfrac{\beta '}{\alpha '}\)