上一篇《极限运算法则》

准则I

如果数列 \(\{ x_n \}\) , \(\{ y_n \}\) , 及 \(\{ z_n \}\) 满足下列条件:

\[\tag{1} y_n \le x_n \le z_n (n=1,2,3,...)\] \[\tag{2} \lim_{n \to \infin} y_n = a; \lim_{n \to \infin} z_n = a;\]

那么数列 \(\{ x_n \}\) 的极限存在,且 \(\lim_{n \to \infin} x_n = a\)

准则I’

如果:

(1) 当 \(x \in \mathring{U} (x_0, r)\) (或者 \(|x| > \bm M\) )时,有 \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) 成立;

(2) \(lim_{x \to x_0} g(x) = \bm A\) (或 \(lim_{x \to \infin} g(x) = \bm A\) ), \(lim_{x \to x_0} h(x) = \bm A\) (或 \(lim_{x \to \infin} h(x) = \bm A\) ),

那么 \(lim_{x \to x_0} f(x) = \bm A\) lim_(x→x_0 )⁡ (或 \(lim_{x \to \infin} f(x) = \bm A\) ) 。

准则I和准则I’称为夹逼准则

重要的极限1

\[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =1\]

准则II 单调有界数列必有极限。

如果数列 \(\{ x_n \}\) 满足 \(x_1 \le x_2 \le x_3 \le ... x_{n-1} \le x_n \le x_{n + 1} \le ...\) ,那么就称该数列单调增加。

如果数列 \(\{ x_n \}\) 满足 \(x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge ... x_{n-1} \ge x_n \ge x_{n + 1} \ge ...\) ,那么就称该数列单调减少。

单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

重要的极限2

\[\lim_{n \to \infin} {1 + \dfrac{1}{n}}^n = e\]

柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

数列 \(\{ x_n \}\) 收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数 \(\epsilon\) ,存在着正整数 \(\bm N\) ,使得当 \(m \gt \bm N\) 时,就有 \(| x_n - x_m | \lt \epsilon\)