准则I
如果数列 \(\{ x_n \}\) , \(\{ y_n \}\) , 及 \(\{ z_n \}\) 满足下列条件：
\[\tag{1} y_n \le x_n \le z_n (n=1,2,3,...)\] \[\tag{2} \lim_{n \to \infin} y_n = a; \lim_{n \to \infin} z_n = a;\]那么数列 \(\{ x_n \}\) 的极限存在，且 \(\lim_{n \to \infin} x_n = a\) 。
准则I’
如果:
(1) 当 \(x \in \mathring{U} (x_0, r)\) (或者 \(|x| > \bm M\) )时，有 \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) 成立；
(2) \(lim_{x \to x_0} g(x) = \bm A\) (或 \(lim_{x \to \infin} g(x) = \bm A\) ), \(lim_{x \to x_0} h(x) = \bm A\) (或 \(lim_{x \to \infin} h(x) = \bm A\) )，
那么 \(lim_{x \to x_0} f(x) = \bm A\) lim_(x→x_0 ) (或 \(lim_{x \to \infin} f(x) = \bm A\) ) 。
准则I和准则I’称为夹逼准则。
重要的极限1
\[\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =1\]准则II 单调有界数列必有极限。
如果数列 \(\{ x_n \}\) 满足 \(x_1 \le x_2 \le x_3 \le ... x_{n-1} \le x_n \le x_{n + 1} \le ...\) ，那么就称该数列单调增加。
如果数列 \(\{ x_n \}\) 满足 \(x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge ... x_{n-1} \ge x_n \ge x_{n + 1} \ge ...\) ，那么就称该数列单调减少。
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
重要的极限2
\[\lim_{n \to \infin} {1 + \dfrac{1}{n}}^n = e\]柯西极限存在准则(柯西审敛原理)
数列 \(\{ x_n \}\) 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 \(\epsilon\) ，存在着正整数 \(\bm N\) ，使得当 \(m \gt \bm N\) 时，就有 \(| x_n - x_m | \lt \epsilon\) 。