定理1
有限个无穷小的和也是无穷小。
定理2
有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1
常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论2
有限个无穷小的乘积也是无穷小。
定理3
如果 \(\lim f(x) = \bm A\) ， \(\lim g(x)= \bm B\) ，则 \(\lim [f(x) \pm g(x)]\) 存在，且 \(\lim {f(x) \pm g(x)} = \bm A \pm \bm B = \lim f(x) \pm \lim g(x)\) 。
定理4
如果 \(\lim f(x) = \bm A\) ， \(\lim g(x)= \bm B\) ，则 \(\lim [f(x) \cdot g(x)]\) 存在，且 \(\lim [f(x) \cdot g(x)] = \bm A \cdot \bm B = \lim f(x) \cdot \lim g(x)\) 。
推论1
如果 \(\lim f(x)\) 存在，而 \(\bm C\) 为常数，则 \(\lim [ \bm C \cdot f(x)] = \bm C \cdot \lim f(x)\) 。
推论2
如果 \(\lim f(x)\) 存在，而 \(n\) 为正整数，则 \(\lim [ f(x) ] ^ n = [ \lim f(x) ] ^ n\) 。
定理5
如果 \(\lim f(x) = \bm A\) ， \(\lim g(x)= \bm B\) ，且 \(\bm B \not = 0\) ，则 \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}\) 存在，且 \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\bm A}{\bm B} = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\) 。
定理6
设有数列 \(\{ x_n \}\) 和 \(\{ y_n \}\) ，如果 \(\lim_{n \to \infin} x_n = \bm A\) ， \(\lim_{n \to \infin} y_n = \bm B\) ，那么
-
\(\lim_{n \to \infin} {x_n \pm y_n} = \bm A \pm \bm B\) ;
-
\(\lim_{n \to \infin} {x_n \cdot y_n} = \bm A \cdot \bm B\) ;
-
\(\lim_{n \to \infin} { \dfrac {x_n}{y_n}} = \dfrac{\bm A}{\bm B}\) ;
定理7
如果 \(\{ x_n \}\) φ(x)≥ψ(x)，而 \(\{ x_n \}\) lim φ(x) =a, \(\{ x_n \}\) limψ(x)=b，那么 \(\{ x_n \}\) a≥b。
定理8 (复合函数的极限运算法则)
设函数 \(u = \phi(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限存在且等于 \(a\) ，即 \(\lim_{x \to x_0} { \phi (x) } = a\) ，但在点 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(\phi (x) \not = a\) ，又 \(\lim_{u \to a}f(u) = \bm A\) ，则复合函数 \(f[ \phi (x) ]\) 当 \(x \to x_0\) 时极限也存在，且
\[\lim_{x \to x_0}[f[\phi (x)]] = lim_{u \to a}f(u) = \bm A\]