上一篇《无穷大与无穷小》

定理1

有限个无穷小的和也是无穷小。

定理2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2

有限个无穷小的乘积也是无穷小。

定理3

如果 \(\lim f(x) = \bm A\) \(\lim g(x)= \bm B\) ,则 \(\lim [f(x) \pm g(x)]\) 存在,且 \(\lim {f(x) \pm g(x)} = \bm A \pm \bm B = \lim f(x) \pm \lim g(x)\)

定理4

如果 \(\lim f(x) = \bm A\) \(\lim g(x)= \bm B\) ,则 \(\lim [f(x) \cdot g(x)]\) 存在,且 \(\lim [f(x) \cdot g(x)] = \bm A \cdot \bm B = \lim f(x) \cdot \lim g(x)\)

推论1

如果 \(\lim f(x)\) 存在,而 \(\bm C\) 为常数,则 \(\lim [ \bm C \cdot f(x)] = \bm C \cdot \lim f(x)\)

推论2

如果 \(\lim f(x)\) 存在,而 \(n\) 为正整数,则 \(\lim [ f(x) ] ^ n = [ \lim f(x) ] ^ n\)

定理5

如果 \(\lim f(x) = \bm A\) \(\lim g(x)= \bm B\) ,且 \(\bm B \not = 0\) ,则 \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}\) 存在,且 \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\bm A}{\bm B} = \dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\)

定理6

设有数列 \(\{ x_n \}\) \(\{ y_n \}\) ,如果 \(\lim_{n \to \infin} x_n = \bm A\) \(\lim_{n \to \infin} y_n = \bm B\) ,那么

  1. \(\lim_{n \to \infin} {x_n \pm y_n} = \bm A \pm \bm B\) ;

  2. \(\lim_{n \to \infin} {x_n \cdot y_n} = \bm A \cdot \bm B\) ;

  3. \(\lim_{n \to \infin} { \dfrac {x_n}{y_n}} = \dfrac{\bm A}{\bm B}\) ;

定理7

如果 \(\{ x_n \}\) φ(x)≥ψ(x),而 \(\{ x_n \}\) lim φ(x) =a, \(\{ x_n \}\) limψ(x)=b,那么 \(\{ x_n \}\) a≥b。

定理8 (复合函数的极限运算法则)

设函数 \(u = \phi(x)\) \(x \to x_0\) 时的极限存在且等于 \(a\) ,即 \(\lim_{x \to x_0} { \phi (x) } = a\) ,但在点 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(\phi (x) \not = a\) ,又 \(\lim_{u \to a}f(u) = \bm A\) ,则复合函数 \(f[ \phi (x) ]\) \(x \to x_0\) 时极限也存在,且

\[\lim_{x \to x_0}[f[\phi (x)]] = lim_{u \to a}f(u) = \bm A\]