上一篇《函数的极限》

无穷小

如果函数 \(f(x)\) \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infin\) )时的极限为零,那么函数 \(f(x)\) 叫做 \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infin\) )时的无穷小

定义1

设函数 \(f(x)\) \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义(或 \(|x|\) 大于某一正数时有定义)。

如果对于任意给定的正数 \(\epsilon\) (无论它多么小),总存在正数 \(\delta\) (或正数 \(\bm X\) ),使得对于适合不等式 \(0 \lt | x - x_0 | \lt \delta\) (或 \(|x| \gt \bm X\) )的一切 \(x\) ,对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(|f(x) | \lt \epsilon\) ,那么称函数 \(f(x)\) \(x \to x_0\) \(x \to \infin\) )时为无穷小,记作:

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=0, (lim_{x \to \infin}f(x) = 0)\]

定理1

在自变量的同一变化过程 \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infin\) )中,具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小的和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小的和,那么该常数就是这函数的极限。

无穷大

如果当 \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infin\) )时,函数 \(f(x)\) 的函数值的绝对值无限增大,那么就叫函数 \(f(x)\) \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infin\) )时为无穷大

定义2

设函数 \(f(x)\) 在x0的某一去心邻域内有定义(或 \(|x|\) 大于某一正数时有定义)。

如果对于任意给定的正数 \(\bm M\) (无论它多么大),总存在正数 \(\delta\) (或正数 \(\bm X\) ),使得对于适合不等式 \(0 \lt | x - x_0 | \lt \delta\) (或 \(|x| \gt \bm X\) )的一切 \(x\) ,对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(| f(x) | \gt \bm M\) ,那么称函数 \(f(x)\) \(x \to x_0\) \(x \to \infin\) )时为无穷大,记作:

\[\lim_{x \to x_0}f(x) = \infin, (\lim_{x \to \infin}f(x)=\infin)\]

定理2

在自变量的同一变化中,如果 \(f(x)\) 为无穷大,那么 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 为无穷小;反之,如果 \(f(x)\) 为无穷小,且 \(f(x) \not = 0\) ,则 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 为无 穷大。