无穷小
如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infin\) ）时的极限为零，那么函数 \(f(x)\) 叫做 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infin\) ）时的无穷小。
定义1
设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义(或 \(|x|\) 大于某一正数时有定义）。
如果对于任意给定的正数 \(\epsilon\) （无论它多么小），总存在正数 \(\delta\) (或正数 \(\bm X\) )，使得对于适合不等式 \(0 \lt | x - x_0 | \lt \delta\) （或 \(|x| \gt \bm X\) ）的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(|f(x) | \lt \epsilon\) ，那么称函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) （ \(x \to \infin\) ）时为无穷小，记作：
\[\lim_{x \to x_0}f(x)=0, (lim_{x \to \infin}f(x) = 0)\]定理1
在自变量的同一变化过程 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infin\) )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小的和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小的和，那么该常数就是这函数的极限。
无穷大
如果当 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infin\) ）时，函数 \(f(x)\) 的函数值的绝对值无限增大，那么就叫函数 \(f(x)\) 在 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infin\) ）时为无穷大。
定义2
设函数 \(f(x)\) 在x0的某一去心邻域内有定义(或 \(|x|\) 大于某一正数时有定义）。
如果对于任意给定的正数 \(\bm M\) （无论它多么大），总存在正数 \(\delta\) (或正数 \(\bm X\) )，使得对于适合不等式 \(0 \lt | x - x_0 | \lt \delta\) （或 \(|x| \gt \bm X\) ）的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(| f(x) | \gt \bm M\) ，那么称函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) （ \(x \to \infin\) ）时为无穷大，记作：
\[\lim_{x \to x_0}f(x) = \infin, (\lim_{x \to \infin}f(x)=\infin)\]定理2
在自变量的同一变化中，如果 \(f(x)\) 为无穷大，那么 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 为无穷小；反之，如果 \(f(x)\) 为无穷小，且 \(f(x) \not = 0\) ，则 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 为无 穷大。