自变量趋于有限值时函数的极限
定义1
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义。如果对于给定的正数 \(\epsilon\) 无论它多么小），总存在正数 \(\delta\) ，使得对于适合不等式 \(0 \lt | x - x_0 | \lt \delta\) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(|f(x) - \bm A | \lt \epsilon\) ，那么常数 \(\bm A\) 就叫函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限。记作
\[lim_{x \to x_0}f(x) = \bm A\]或 \(f(x) \to \bm A\) (当 \(x \to x_0\) )。
定理1 （极限的局部保号性）
如果 \(lim_{x \to x_0} f(x) = \bm A\) ，而且 \(\bm A \gt 0\) (或 \(\bm A \lt 0\) )，那么就存在着点 \(x_0\) 的某一去心邻域，当 \(x\) 在该邻域内时，就有 \(f(x) \gt 0\) (或 \(f(x) \lt 0\) )。
定理1’
如果 \(lim_{x \to x_0} f(x) = \bm A\) ， \(A \not = 0\) ，那么就存在着 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\) ，当 \(x \in \mathring{U}(x_0)\) 时，就有 \(|f(x)| \gt \dfrac{|A|}{2}\) 。
定理2
如果在 \(x_0\) 的某一去心邻域内 \(f(x) \ge 0\) (或者 \(f(x) \le 0\) ）, 而且 \(lim_{ x \to x_0} f(x) = \bm A\) ，那么 \(A \ge 0\) A≥0（或 \(A \le 0\) ）。
自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2
设函数 \(f(x)\) 在当 \(|x|\) 大于某一正数时有定义，如果对于给定的正数 \(\epsilon\) （无论它多么小），总存在正数 \(\bm X\) ，使得对于适合不等式 \(|x| \gt \bm X\) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(| f(x) - \bm A | \lt \epsilon\) ，那么常数 \(\bm A\) 就叫函数 \(f(x)\) 当 \(x \to \infin\) 时的极限。记作
\[lim_{x \to \infin} f(x) = \bm A\]或 \(f(x) \to \bm A\) (当 \(x \to \infin\) )。
一般来说， \(lim_{x \to \infin} f(x) = \bm C\) ，则直线 \(y = c\) 是函数 \(y = f(x)\) 的图形的水平渐近线。