数列的极限
数列的概念：按照某一法则，使得对应着任何一个正整数 \(n\) 有一个确定的数 \(x_n\) ，那么这列有次序的数就叫做数列。
数列中每一个数称作数列的项，第 \(n\) 项的 \(x_n\) 叫做数列的一般项。数列通常简记为 \(\{x_n\}\) 。
在几何上，数列 \(\{x_n\}\) 可以看做数轴上一个动点，依次取值。
数列 \(\{x_n\}\) 可以看做自变量为正整数 \(n\) 的函数： \(x_n = f(n)\) ，定义域为正整数，当自变量取 \(n\) 时，函数值为 \(\{x_n\}\) 。
定义
如果数列 \(\{x_n\}\) 与常数 \(a\) 有如下关系：
对于任意给定的正数 \(\epsilon\) （不论它多么小），总存在正整数 \(\bm{N}\) ，是的 \(n \gt \bm{N}\) 的一切 \(\{x_n\}\) ，不等式 \(| x_n - a | \lt \epsilon\) 都成立，则称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限，或者称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\) ，记作 \(\lim_{n \to \infin} x_n = a\) ，或者 \(\{x_n\} \to a\) \(( n \to \infin )\) 。
对于数列 \(\{x_n\}\) ，如果存在着正数 \(\bm{M}\) ，是的对于一切 \(x\) ，都满足不等式 \(| \{x_n\} | \le \bm{M}\) ，则称数列 \(\{x_n\}\) 是有界的。如果这样的正数 \(\bm{M}\) 不存在，就说数列 \(\{x_n\}\) 是无界的。
在数列 \(\{x_n\}\) 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，那么得到的一个新数列称为原数列的一个子数列（或子列）。
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定理1（极限的唯一性） 数列 \(\{x_n\}\) 不能收敛于两个不同的极限。
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定理2（收敛数列的有界性） 如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界。
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定理3（收敛数列与其子数列之间的关系） 如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\) ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 \(a\) 。