上一篇《初等函数》

数列的极限

数列的概念:按照某一法则,使得对应着任何一个正整数 \(n\) 有一个确定的数 \(x_n\) ,那么这列有次序的数就叫做数列

数列中每一个数称作数列的,第 \(n\) 项的 \(x_n\) 叫做数列的一般项。数列通常简记为 \(\{x_n\}\)

在几何上,数列 \(\{x_n\}\) 可以看做数轴上一个动点,依次取值。

数列 \(\{x_n\}\) 可以看做自变量为正整数 \(n\) 的函数: \(x_n = f(n)\) ,定义域为正整数,当自变量取 \(n\) 时,函数值为 \(\{x_n\}\)

定义

如果数列 \(\{x_n\}\) 与常数 \(a\) 有如下关系:

对于任意给定的正数 \(\epsilon\) (不论它多么小),总存在正整数 \(\bm{N}\) ,是的 \(n \gt \bm{N}\) 的一切 \(\{x_n\}\) ,不等式 \(| x_n - a | \lt \epsilon\) 都成立,则称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 极限,或者称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\) ,记作 \(\lim_{n \to \infin} x_n = a\) ,或者 \(\{x_n\} \to a\) \(( n \to \infin )\)

对于数列 \(\{x_n\}\) ,如果存在着正数 \(\bm{M}\) ,是的对于一切 \(x\) ,都满足不等式 \(| \{x_n\} | \le \bm{M}\) ,则称数列 \(\{x_n\}\) 是有界的。如果这样的正数 \(\bm{M}\) 不存在,就说数列 \(\{x_n\}\) 无界的。

在数列 \(\{x_n\}\) 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,那么得到的一个新数列称为原数列的一个子数列(或子列)。

  • 定理1(极限的唯一性) 数列 \(\{x_n\}\) 不能收敛于两个不同的极限。

  • 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛,那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界。

  • 定理3(收敛数列与其子数列之间的关系) 如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\) ,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是 \(a\)