幂函数
函数 \(y=x^\mu\) ， ( \(\mu\) 为参数) 称为幂函数。
幂函数的定义域取决于 \(\mu\) 的数值。
- 如 \(\mu = 3\) 时，定义域为 \((-\infin, +\infin)\) ；
- 如 \(\mu = \dfrac{1}{2}\) 时，定义域为 \([0, +\infin)\) ；
不论 \(\mu\) 取何值，幂函数总在 \((0, +\infin)\) 内有定义。
图形：
指数函数和对数函数
指数函数
函数 \(y=a^x\) （ \(\bm{a}\) 是常数且 \(a \gt 0\) ）叫做指数函数。
定义域为 \((-\infin, +\infin)\) 。
- 对于 \(a \gt 1\) ，函数单调增加；
- 对于 \(0 \lt a \lt 1\) ，函数单调减少；
因为有 \(y=( \dfrac{1}{a})^x=a^{-x}\) ，所以其图形与函数 \(y=a^x\) 关于 \(y\) 轴对称。
以常数 \(e = 2.7182818...\) 为底的指数函数 \(y = e^x\) 是科技中常用的指数函数。
对数函数
指数函数 \(y=a^x\) 的反函数，记作 \(y = \log_a x\) （ \(a\) 是常数，且 \(a \gt 0, a \not = 1\) ），叫做对数函数。其函数图形与 \(y =a^x\) 关于 \(y = x\) 对称，其图形总在y轴右方，并经过点(1, 0)。
- 若 \(a \gt 1\) ，函数 \(y = \log_a x\) 是单调增加的。在开区间 \((0, 1 )\) 函数值为负，而在 \((1, + \infin )\) 内函数值为正；
- 若 \(0 \lt a \lt 1\) ，函数 \(y = \log_a x\) 是单调减少。在开区间 \((0, 1 )\) 内函数值为正，而在 \((1, + \infin )\) 内，函数值为负；
科技中， 以常数 \(e = 2.7182818...\) 为底的对数函数称为自然对数函数，记作 \(y = \ln {x}\) 。
三角函数和反三角函数
三角函数
常用的三角函数有（正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）：
\[y = \sin x;\\ y = \cos x;\\ y = \tan x;\\ y = \cot x;\\ y = \sec x;\\ y = \csc x;\]
- 正弦函数、余弦函数都是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数，定义域都是 \((-\infin, +\infin)\) ，值域为 \([-1, 1]\) ；
正弦函数曲线：
余弦函数曲线：
- 正弦函数为奇函数，余弦函数是偶函数。
因为 \(\cos x = \sin (x + \dfrac{\pi}{2} )\) ，将正弦函数沿着x轴向左移动 \(\dfrac{\pi}{2}\) ，就得到余弦函数曲线。
- 正切函数的定义域 \(\bm D = \{ x \mid x \in R, x \not = \dfrac{(2n + 1)\pi}{2}, n \in \Bbb Z \}\) ，值域是 \((-\infin, +\infin)\) 。
- 余切函数的定义域 \(\bm D = \{ x \mid x \in R, x \not = n \pi, n \in \Bbb Z \}\) ，值域是 \((-\infin, +\infin)\) 。
- 正割函数是余弦函数的倒数： \(y = \sec x = \dfrac{1}{\cos x}\) ，它是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数，在开区间 \((0, \dfrac{\pi}{2})\) 内都是无界函数。
- 余割函数是正弦函数的倒数： \(y = \csc x = \dfrac{1}{\sin x}\) ，它是以 \(2\pi\) 为周期的周期函数，在开区间 \((0, \dfrac{\pi}{2})\) 内都是无界函数。
反三角函数
反三角函数是三角函数的反函数。
\[y = \arcsin x; \\ y = \arccos x; \\ y = \arctan x; \\ y = arccot x;\]以上四个反三角函数都是多值函数，选取这些函数的单值支：
- 反正弦函数，将其值限制在闭区间 \([ \dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} ]\) ， 记作 \(y = \arcsin x\) 。这样 \(y = \arcsin x\) 就是定义在 \([-1, 1]\) 上的单值函数，且单调增加。
- 反余弦函数 \(y = \arccos x\) ，定义域为 \([-1, 1]\) ，值域为 \([ 0, \pi ]\) ，它在 \([-1, 1]\) 上单调减少。
- 反正切函数 \(y = \arctan x\) , 定义域为 \(( - \infin, + \infin )\) ，值域为开区间(－π/2, π/2)，单调增加。
- 反余切函数 \(y = arccot x\) , 定义域为 \(( - \infin, + \infin )\) ，值域为开区间 \(( 0, \pi )\) ，单调减少。
复合函数、初等函数
复合函数
由函数 \(y = f(u)\) 和 \(u = \varphi (x)\) 复合而来的复合函数记作 \(y = f[ \varphi (x)]\) ，而 \(u\) 称为中间变量。
例如： \(y = \arctan {x^2}\)
初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可由一个式子表示的函数，称为初等函数。
双曲函数和反双曲函数
双曲函数
应用上常常碰到双曲函数为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切。
\[\sh x = \dfrac{e^x−e^{−x}}{2}; \\ \ch x = \dfrac{e^x+e^{−x}}{2}; \\ \th x= \dfrac{\sh x}{\ch x} = \dfrac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}\]-
双曲正弦的定义域为 \(( - \infin, + \infin )\) ，单调增加的奇函数。
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双曲余弦的定义域为 \(( - \infin, + \infin )\) ，偶函数，在区间 \(( - \infin, 0 )\) 内单调减少，在区间 \(( 0, + \infin )\) 内单调增加。
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双曲正切的定义域为 \(( - \infin, + \infin )\) ，单调增加的奇函数。
图形：
公式：
\[\sh {x+y} = \sh x \ch y + \ch x \sh y; \\ \sh {x−y} = \sh x \ch y − \ch x \sh y; \\ \sh {2x} = 2 \sh x \ch x; \\ \ch {x+y} = \ch x \ch y + \sh x \sh y; \\ \ch {x−y} = \ch x \ch y − \sh x \sh y; \\ \ch {2x} = \ch ^2 x + \sh ^2 x;\]反双曲函数
反双曲正弦，反双曲余弦，反双曲正切函数的公式
\[y = arsh x = \ln{x + \sqrt{x^2 + 1}}; \\ y = arch x = \ln{x + \sqrt{x^2 − 1}}; \\ y = arth x = \dfrac{1}{2} \ln {\dfrac{1 + x}{1 - x}}\]-
反双曲正弦定义域为 \(( - \infin, + \infin )\) ，单调增加的奇函数。
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双曲余弦的反函数是双值函数，关于 \(x\) 轴对称。取其正值的一支为函数的主值使其成为单值函数。所以，反双曲余弦定义域为 \(( 1, + \infin )\) ，并单调增加。
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反双曲正切的定义域为 \(( -1, 1 )\) ，单调增加的奇函数。
习题
- 设 \(F(x) = e^x\) ，证明：
- 设 \(G(x) = \ln x\) ，证明：当 \(x \gt 0; y \gt 0\) ：