《高等数学》,同济大学数学教研室。 第四版。 高等教育出版社。

集合、常量和变量

集合

一般来说,集合(或简称集)是指具有某种特定性质的事物的总体。组成这个集合的事物称为该集合的元素。凡事物 \(a\) 是属于集合 \(\bm{M}\) 的元素,记作 \(a \in \bm{M}\) 。事物 \(a\) 不属于 \(\bm{M}\) ,记作 \(a \notin \bm{M}\)

\(\bm{M}\) 是具有某种特征的元素 \(x\) 的集合,记作: \(\bm{M} = \{x \mid x\) 所具有的特征 \(\}\)

集合的例子:直角坐标系上,以原点为圆心,半径为1的圆:

\[\bm M = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 = 1, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R \}\]

常用的数集:

  • 全体自然数的集合记作 \(\Bbb{N}\)
  • 全体整数集合记作 \(\Bbb{Z}\)
  • 全体有理数的集合记作 \(\Bbb{Q}\)
  • 全体实数的集合记作 \(\Bbb{R}\)

如果集合 \(\bm{A}\) 的元素都是集合 \(\bm{B}\) 的元素,则 \(\bm{A}\) \(\bm{B}\) 的子集,记住 \(\bm{A} \subset \bm{B}\) (读作A包含于B)或 \(\bm{B} \supset \bm{A}\) (读作B包含A)。

  • 不包含任何元素的集合称为空集,记作 \(\emptyset\) 。规定空集是任何集合的子集。
  • 如果 \(\bm A \subset \bm B\) , 且 \(\bm B \subset \bm A\) ,则称集合A和集合B相等,记作: \(\bm A = \bm B\)

区间的定义:

  • 开区间记作 \((a, b)\) ,即 \((a, b) = \{x \mid a \lt x \lt b \}\)
  • 闭区间记作 \([a, b]\) ,即 \([a, b] = \{x \mid a \leqslant x \leqslant b \}\)
  • 半开区间,如 \([a, b)\) \((a, b]\)
  • 无限区间,如 \([a, +\infty) = \{x \mid x \ge a\}\) ,或者 \((-\infty, a) = \{x \mid x \lt a \}\)

全体实数的集合 \(\Bbb{R}\) 也可记作 \((-\infty, +\infty)\)

邻域以点 \(a\) 为中心的任何开区间,记作 \(\mathring{U}(a)\) 。点 \(a\) \(\delta\) 邻域记作 \(\mathring{U}(a, \delta) = \{x \mid a - \delta \lt x \lt a + \delta \}\) ,点 \(a\) 成为该邻域的中心, \(\delta\) 称为该领域的半径。用绝对值来表示该定义,即 \(\mathring{U}(a, \delta)= \{ x \mid | x - a | \lt \delta \}\) 。点 \(a\) 的去心的 \(\delta\) 领域记作 \(\mathring{U}(a, δ) = \{ x \mid 0 \lt |x-a| \lt \delta \}\)

常量和变量

常量是在变化过程中保持一定数值的量。变量是指变化过程中变化着的量。通常用字母 \(a, b, c\) 等表示常量,用字母 \(x, y, z\) 等表示变量。

函数的概念

示例

示例1,圆的面积 \(A\) 与半径 \(r\) 的关系: \(A = \pi r^2\)

示例2,自由落体运动,下落距离 \(s\) 与下落时间 \(t\) 的关系: \(s = \dfrac{1}{2} gt^2\)

示例3,半径 \(r\) 的圆,内接于该圆的正 \(n\) 边形的周长 \(S\) 与边数 \(n\) 的关系: \(S_n = 2nr\sin \dfrac{\pi}{n}\)

定义

\(x\) \(y\) 是两个变量, \(\bm{D}\) 是一个给定的数集。如果对于每一个 \(x \in \bm{D}\) , 变量 \(y\) 按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称 \(y\) \(x\) 函数,记作 \(y = f(x)\) 。数集 \(\bm{D}\) 称为该函数的定义域 \(x\) 叫做自变量 \(y\) 叫做因变量。当 \(x\) 取值 \(x_0\) 时, \(y\) 的数值称为函数值,记作 \(f(x_0)\) 。当 \(x\) 遍取 \(x \in \bm{D}\) 的各个数值时,对应的函数值的全体组成的数集称为值域 \(W=\{y \mid y = f(x), x \in D\}\)

几种常见的函数

绝对值函数

公式:

\[y=|x|= \left \lbrace \begin{matrix} x, x \ge 0; \\ -x, x \lt 0; \end{matrix} \right.\]

定义域: \(\bm{D}=(-\infin, +\infin)\) ; 值域: \(\bm{W}=[0, +\infin)\)

图形:

Pic

符号函数

公式:

\[y=sgn(x)=\left \lbrace \begin{matrix} 1, x \gt 0; \\ 0, x = 0; \\ -1, x \lt 0; \end{matrix} \right.\]

定义域: \(\bm{D}=(-\infin, +\infin)\) ,值域: \(\bm{W}=\{-1, 0, 1\}\)

图形:

Pic

取整函数

公式: \(y=[x]\)

定义域: \(\bm{D}=(-\infin, +\infin)\) ,值域: \(\bm{W}=\Bbb{Z}\)

曲线:

Pic

函数的几种集合特性

有界性

如果函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\bm{D}\) ,数集 \(x \subset \bm{D}\)

  • 如果存在数 \(K_1\) ,使得 \(f(x) \le K_1\) 对任一 \(x \in \bm{X}\) 都成立,则称函数 \(f(x)\) \(\bm{X}\) 上有上界,而 \(K_1\) 称为函数 \(f(x)\) \(\bm{X}\) 上的一个上界。

  • 如果存在数 \(K_2\) ,使得 \(f(x) \ge K_2\) 对任一 \(x \in \bm{X}\) 都成立,则称函数 \(f(x)\) \(\bm{X}\) 上有下界,而 \(K_2\) 称为函数 \(f(x)\) \(\bm{X}\) 上的一个下界。

  • 如果存在正数 \(\bm{M}\) ,使得 \(|f(x)| \le \bm{M}\) 对于任一 \(x \in \bm{X}\) 都成立,则称函数 \(f(x)\) \(\bm{X}\) 有界,如果这样的 \(\bm{M}\) 不存在,则称 \(f(x)\) \(\bm{X}\) 无界

函数 \(f(x)\) \(\bm{X}\) 上有界的充分必要条件是它在 \(\bm{X}\) 上既有上界又有下界。

几个比较常用函数的有界性:

  • \(\sin x\) 的上界是 \(1\) </pan>,下界是 \(-1\) </pan>。即: \(|\sin x| \le 1\)
  • \(\dfrac{1}{x}\) 在开区间 \((0, 1)\) </pan>内没有上界。

单调性

设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\bm{D}\) ,区间 \(\bm{I} \subset \bm{D}\)

  • 如果对于区间上任意两点 \(x_1\) \(x_2\) ,当 \(x_1 \lt x_2\) 时,恒有 \(f(x_1) \lt f(x_2)\) ,则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(\bm I\) 单调增加
  • 如果对于 \(x_1 \lt x_2\) 时,恒有 \(f(x_1) \gt f(x_2)\) ,则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(\bm I\) 单调减少

例如: \(y = x^2\) 在区间 \([0, \infin)\) 上是单调增加;而在 \((-\infin, 0]\) 是单调减少的;

例如: \(y = x^3\) 在区间 \((- \infin), \infin)\) 上是单调增加的;

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数

奇偶性

设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(\bm{D}\) 关于原点对称:

  • 如果对于任一 \(x \in \bm{D}\) \(f(-x) = f(x)\) 恒成立,则称 \(f(x)\) 偶函数
  • 如果对于任一 \(x \in \bm{D}\) \(f(-x) = -f(x)\) 恒成立,则称 \(f(x)\) 奇函数

图形属性:

  • 偶函数的图形关于 \(\bm{y}\) 轴对称,
  • 奇函数的图形关于原点对称。

例如, \(\sin x\) 是奇函数; \(\cos x\) 是偶函数。

周期性

设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(\bm D\) ,如果存在一个不为零的数 \(l\) ,对于任一 \(x \in \bm{D}\) ,有 \(x + l \in \bm{D}\) \(f(x + l) = f(x)\) 恒成立,则称 \(f(x)\) 周期函数 \(l\) 称为 \(f(x)\) 周期

通常我们说周期函数的周期是指最小正周期

反函数

设函数 \(y = f(x)\) 的定义域为 \(\bm{D}\) ,值域为 \(\bm{W}\) 。如果把 \(\bm{y}\) 看作自变量, \(\bm{x}\) 看作因变量,得到的全新函数称为 \(y = f(x)\) 反函数,记作 \(x = \varphi(y)\) 。对于反函数 \(x = \varphi(y)\) 来说, \(y = f(x)\) 称为直接函数

如果 \(y = f(x)\) 在区间 \(\bm{I}\) 上不仅是单值且单调的,则其反函数是单值的。

习惯上自变量用 \(x\) 表示,因变量用 \(y\) 表示,所以反函数表示为 \(y = \varphi(x)\)

将直接函数 \(y = f(x)\) 与其反函数 \(y = \varphi(x)\) 画在同一坐标轴,则两个图形关于直线 \(y = x\) 对称。

习题

  1. 奇偶性判断
\[\tag{1} y = x^2(1-x^2);\] \[\tag{2} y = \dfrac{1-x^2}{1+x^2};\] \[\tag{3} y = \sin x - \cos x + 1;\] \[\tag{4} y = \dfrac{a^x+a^{-x}}{2};\]
  1. 奇偶性函数

\(f(x) = 2x^2 + 6x - 3\) , 求 \(\varphi (x) = \dfrac{1}{2}[f(x) + f(-x)]\) \(\psi (x) = \dfrac{1}{2}[f(x) - f(-x)]\) ,各自的奇偶性。

  1. 证明题

下面所有函数都在定义在对称区间 \((-l, l)\) 上的,证明:

  • 两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;
  • 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,奇函数和偶函数的乘积是奇函数;
  • 定义在对称区间上 \((-l, l)\) 任意函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。
  1. 求反函数
\[\tag{1} y = \sqrt[3]{x+1}\] \[\tag{2} y = \dfrac{1 - x}{1 + x}\]