《高等数学》，同济大学数学教研室。 第四版。 高等教育出版社。
集合、常量和变量
集合
一般来说，集合（或简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体。组成这个集合的事物称为该集合的元素。凡事物 \(a\) 是属于集合 \(\bm{M}\) 的元素，记作 \(a \in \bm{M}\) 。事物 \(a\) 不属于 \(\bm{M}\) ，记作 \(a \notin \bm{M}\) 。
设 \(\bm{M}\) 是具有某种特征的元素 \(x\) 的集合，记作： \(\bm{M} = \{x \mid x\) 所具有的特征 \(\}\) 。
\[\bm M = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 = 1, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R \}\]集合的例子：直角坐标系上，以原点为圆心，半径为1的圆：
常用的数集：
- 全体自然数的集合记作 \(\Bbb{N}\) 。
- 全体整数集合记作 \(\Bbb{Z}\) 。
- 全体有理数的集合记作 \(\Bbb{Q}\) 。
- 全体实数的集合记作 \(\Bbb{R}\) 。
如果集合 \(\bm{A}\) 的元素都是集合 \(\bm{B}\) 的元素，则 \(\bm{A}\) 是 \(\bm{B}\) 的子集，记住 \(\bm{A} \subset \bm{B}\) （读作A包含于B）或 \(\bm{B} \supset \bm{A}\) （读作B包含A）。
- 不包含任何元素的集合称为空集，记作 \(\emptyset\) 。规定空集是任何集合的子集。
- 如果 \(\bm A \subset \bm B\) , 且 \(\bm B \subset \bm A\) ，则称集合A和集合B相等，记作： \(\bm A = \bm B\)
区间的定义：
- 开区间记作 \((a, b)\) ，即 \((a, b) = \{x \mid a \lt x \lt b \}\) 。
- 闭区间记作 \([a, b]\) ，即 \([a, b] = \{x \mid a \leqslant x \leqslant b \}\) 。
- 半开区间，如 \([a, b)\) 和 \((a, b]\) 。
- 无限区间，如 \([a, +\infty) = \{x \mid x \ge a\}\) ，或者 \((-\infty, a) = \{x \mid x \lt a \}\) 。
全体实数的集合 \(\Bbb{R}\) 也可记作 \((-\infty, +\infty)\) 。
邻域以点 \(a\) 为中心的任何开区间，记作 \(\mathring{U}(a)\) 。点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域记作 \(\mathring{U}(a, \delta) = \{x \mid a - \delta \lt x \lt a + \delta \}\) ，点 \(a\) 成为该邻域的中心， \(\delta\) 称为该领域的半径。用绝对值来表示该定义，即 \(\mathring{U}(a, \delta)= \{ x \mid | x - a | \lt \delta \}\) 。点 \(a\) 的去心的 \(\delta\) 领域记作 \(\mathring{U}(a, δ) = \{ x \mid 0 \lt |x-a| \lt \delta \}\) 。
常量和变量
常量是在变化过程中保持一定数值的量。变量是指变化过程中变化着的量。通常用字母 \(a, b, c\) 等表示常量，用字母 \(x, y, z\) 等表示变量。
函数的概念
示例
示例1，圆的面积 \(A\) 与半径 \(r\) 的关系： \(A = \pi r^2\) 。
示例2，自由落体运动，下落距离 \(s\) 与下落时间 \(t\) 的关系： \(s = \dfrac{1}{2} gt^2\)
示例3，半径 \(r\) 的圆，内接于该圆的正 \(n\) 边形的周长 \(S\) 与边数 \(n\) 的关系： \(S_n = 2nr\sin \dfrac{\pi}{n}\)
定义
设 \(x\) 和 \(y\) 是两个变量， \(\bm{D}\) 是一个给定的数集。如果对于每一个 \(x \in \bm{D}\) , 变量 \(y\) 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 \(y\) 是 \(x\) 的函数，记作 \(y = f(x)\) 。数集 \(\bm{D}\) 称为该函数的定义域， \(x\) 叫做自变量， \(y\) 叫做因变量。当 \(x\) 取值 \(x_0\) 时， \(y\) 的数值称为函数值，记作 \(f(x_0)\) 。当 \(x\) 遍取 \(x \in \bm{D}\) 的各个数值时，对应的函数值的全体组成的数集称为值域 \(W=\{y \mid y = f(x), x \in D\}\) 。
几种常见的函数
绝对值函数
公式：
\[y=|x|= \left \lbrace \begin{matrix} x, x \ge 0; \\ -x, x \lt 0; \end{matrix} \right.\]定义域： \(\bm{D}=(-\infin, +\infin)\) ; 值域： \(\bm{W}=[0, +\infin)\) 。
图形：
符号函数
公式：
\[y=sgn(x)=\left \lbrace \begin{matrix} 1, x \gt 0; \\ 0, x = 0; \\ -1, x \lt 0; \end{matrix} \right.\]定义域： \(\bm{D}=(-\infin, +\infin)\) ，值域： \(\bm{W}=\{-1, 0, 1\}\) 。
图形：
取整函数
公式： \(y=[x]\)
定义域： \(\bm{D}=(-\infin, +\infin)\) ，值域： \(\bm{W}=\Bbb{Z}\) 。
曲线：
函数的几种集合特性
有界性
如果函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\bm{D}\) ，数集 \(x \subset \bm{D}\) ：
-
如果存在数 \(K_1\) ，使得 \(f(x) \le K_1\) 对任一 \(x \in \bm{X}\) 都成立，则称函数 \(f(x)\) 在 \(\bm{X}\) 上有上界，而 \(K_1\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(\bm{X}\) 上的一个上界。
-
如果存在数 \(K_2\) ，使得 \(f(x) \ge K_2\) 对任一 \(x \in \bm{X}\) 都成立，则称函数 \(f(x)\) 在 \(\bm{X}\) 上有下界，而 \(K_2\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(\bm{X}\) 上的一个下界。
-
如果存在正数 \(\bm{M}\) ，使得 \(|f(x)| \le \bm{M}\) 对于任一 \(x \in \bm{X}\) 都成立，则称函数 \(f(x)\) 在 \(\bm{X}\) 上有界，如果这样的 \(\bm{M}\) 不存在，则称 \(f(x)\) 在 \(\bm{X}\) 上无界。
函数 \(f(x)\) 在 \(\bm{X}\) 上有界的充分必要条件是它在 \(\bm{X}\) 上既有上界又有下界。
几个比较常用函数的有界性：
- \(\sin x\) 的上界是 \(1\) </pan>，下界是 \(-1\) </pan>。即： \(|\sin x| \le 1\)
- \(\dfrac{1}{x}\) 在开区间 \((0, 1)\) </pan>内没有上界。
单调性
设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\bm{D}\) ，区间 \(\bm{I} \subset \bm{D}\) ：
- 如果对于区间上任意两点 \(x_1\) 和 \(x_2\) ，当 \(x_1 \lt x_2\) 时，恒有 \(f(x_1) \lt f(x_2)\) ，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(\bm I\) 上单调增加。
- 如果对于 \(x_1 \lt x_2\) 时，恒有 \(f(x_1) \gt f(x_2)\) ，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(\bm I\) 上单调减少。
例如： \(y = x^2\) 在区间 \([0, \infin)\) 上是单调增加；而在 \((-\infin, 0]\) 是单调减少的；
例如： \(y = x^3\) 在区间 \((- \infin), \infin)\) 上是单调增加的；
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
奇偶性
设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(\bm{D}\) 关于原点对称：
- 如果对于任一 \(x \in \bm{D}\) ， \(f(-x) = f(x)\) 恒成立，则称 \(f(x)\) 为偶函数。
- 如果对于任一 \(x \in \bm{D}\) ， \(f(-x) = -f(x)\) 恒成立，则称 \(f(x)\) 为奇函数。
图形属性：
- 偶函数的图形关于 \(\bm{y}\) 轴对称，
- 奇函数的图形关于原点对称。
例如， \(\sin x\) 是奇函数； \(\cos x\) 是偶函数。
周期性
设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(\bm D\) ，如果存在一个不为零的数 \(l\) ，对于任一 \(x \in \bm{D}\) ，有 \(x + l \in \bm{D}\) 且 \(f(x + l) = f(x)\) 恒成立，则称 \(f(x)\) 为周期函数， \(l\) 称为 \(f(x)\) 的周期。
通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。
反函数
设函数 \(y = f(x)\) 的定义域为 \(\bm{D}\) ，值域为 \(\bm{W}\) 。如果把 \(\bm{y}\) 看作自变量， \(\bm{x}\) 看作因变量，得到的全新函数称为 \(y = f(x)\) 的反函数，记作 \(x = \varphi(y)\) 。对于反函数 \(x = \varphi(y)\) 来说， \(y = f(x)\) 称为直接函数。
如果 \(y = f(x)\) 在区间 \(\bm{I}\) 上不仅是单值且单调的，则其反函数是单值的。
习惯上自变量用 \(x\) 表示，因变量用 \(y\) 表示，所以反函数表示为 \(y = \varphi(x)\) 。
将直接函数 \(y = f(x)\) 与其反函数 \(y = \varphi(x)\) 画在同一坐标轴，则两个图形关于直线 \(y = x\) 对称。
习题
- 奇偶性判断
- 奇偶性函数
设 \(f(x) = 2x^2 + 6x - 3\) , 求 \(\varphi (x) = \dfrac{1}{2}[f(x) + f(-x)]\) 及 \(\psi (x) = \dfrac{1}{2}[f(x) - f(-x)]\) ，各自的奇偶性。
- 证明题
下面所有函数都在定义在对称区间 \((-l, l)\) 上的，证明：
- 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
- 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数；
- 定义在对称区间上 \((-l, l)\) 任意函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。
- 求反函数