货币的时间价值，就是指没有风险和没有通货膨胀的情况下，货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值。
零时点就是指现在。
1. 复利终值和现值
复利计算，Compound Interest，既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息。
终值, Future Value, 是现在的资金按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值。
现值, Present Value, 是未来的资金按给定的利息率计算所得到的现在的价值。
1.1 复利终值
复利终值，Future value with compound interest，是指一定本金在将来一定时间内，按复利计算的本金和利息之和。
计算公式：
\(F=P\times (1+i)^n\)
其中，P表示现值；F表示终值；i表示计息期利率；n表示计息期数。 \((1+i)^n\) 被称为复利终值系数，Future Value Interest Factor, FVIF, 用符号 \((F/P, i, n)\) 表示。
计算公式演变为：
\(F=P \times (F/P, i, n)\)
【例题】将100万存入银行，年利率4%，半年计息一次。按照复利计算，求5年后的本利和。
答：半年计息一次，计息期利率为2%，计息期数为10，查表可知，(F/P, 2%, 10)=1.219。所以五年后金额为：121.9万元。
复利终值系数表
| 期数 | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.0100 | 1.0200 | 1.0300 | 1.0400 | 1.0500 | 1.0600 | 1.0700 |
| 2 | 1.0201 | 1.0404 | 1.0609 | 1.0816 | 1.1025 | 1.1236 | 1.1449 |
| 3 | 1.0303 | 1.0612 | 1.0927 | 1.1249 | 1.1576 | 1.1910 | 1.2250 |
| 4 | 1.0406 | 1.0824 | 1.1255 | 1.1699 | 1.2155 | 1.2625 | 1.3108 |
| 5 | 1.0510 | 1.1041 | 1.1593 | 1.2167 | 1.2763 | 1.3382 | 1.4026 |
更详细的系数表参见：Link 的Finance页面。
1.2 复利现值
复利现值, Present value with compound interest, 是指未来某一时点的特定资金按复利计算方法，折算到现在的价值，也称为“折现”（折算现值）。根据复利终值公式变换，得到复利现值公式：
\(F=P\times (1+i)^{-n}\)
其中， \((1+i)^{-n}\) 被称为复利现值系数, Present Value Interest Factor, PVIFi。用符号： \((P/F, i, n)\) 表示。
\(F=P \times (P/F, i, n)\)
【例题】想再五年后获得本利和100万，已知年利率4%，需要现在存入多少？
答：计息期利率为4%，计息期数为5, 查表可知，(F/P, 4%, 5)=0.8219。所以现在存入：82.19万元。
2. 年金现值和终值
年金， Annuity, 是指间隔期相等的系列等额收付款项。
年金现值，Present Value of Annuity，各期收付款项的复利现值之和。
2.1 年金终值
2.1.1 普通年金终值
普通年金，Ordinary Annuity， 是年金的最基本方式，从第一期起，每期期末等额收付款项。
普通年金终值是指普通年金在第n期期末的复利终值之和。
- 第n期款项在最后一期期末时的终值： \(A\) ；
- 第n-1期款项在最后一期期末时的终值： \(A \times (1+i)\) ;
- 第n-2期款项在最后一期期末时的终值： \(A \times (1+i)^{2}\) ;
- …
- 第1期款项： \(A \times (1+i)^{n-1}\) ；
\(F=A + A \times (1+i) + ... + A \times (1+i)^{n-1}\) 。
这是一个等比数列。比例为 \((1+i)\) 。
由等比数列求和公式(q为比例且不等于1）：
\(S_n=a_1 \times \dfrac{1−q^n}{1-q}\)
带入普通年金终值：
\(F=A \times \dfrac{1−(1+i)^n}{-i}=A \times \dfrac{(1+i)^n-1}{i}\)
式中， \(\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}\) 称为年终终值系数，记作 \((F/A, i, n)\) 。
所以普通年金终值公式为：
\(F=A \times (F/A, i, n)\)
2.1.2 预付年金终值
预付年金，Annuity in advance, 与普通年金的唯一区别在于，在每期期初（而非期末）等额收付款项。
与普通年金类似，预付年金终值:
- 第n期款项在最后一期期末时的终值： \(A \times (1+i)\) ;
- 第n-1期款项在最后一期期末时的终值： \(A \times (1+i)^{2}\) ;
- …
- 第1期款项： \(A \times (1+i)^{n}\) ；
\(F=A \times (1+i) + A \times (1+i)^2 + ... + A \times (1+i)^{n}\) 。
采用与“预付年金现值”一样的变化。得到公式：
\(F=A \times (F/A, i, n) \times (1+i)\) 。
2.1.3 递延年金终值
递延年金，Deferred Annuity， 由普通年金递延组成，递延的期数称为递延期，一般用m表示。递延年金的第一次收付发生在第(m+1)期期末。递延年金的计算很方便，分为两步：
- 第一步，使用普通年金法计算从第m期开始的付款；
- 第二步，将第一步计算的金额推导到现在。
2.1.4 永续年金终值
永续年金没有终值。
2.2 年金现值
2.2.1 普通年金现值
普通年金现值是指普通年金在零时点的价值。
- 第1期款项在零时点的： \(A\) ；
- 第n-1期款项在最后一期期末时的终值： \(A \times (1+i)\) ;
- 第n-2期款项在最后一期期末时的终值： \(A \times (1+i)^{2}\) ;
- …
- 第1期款项： \(A \times (1+i)^{n-1}\) ；
等比数列求和公式(q为比例）：
\(S_n=\dfrac{a_1 (1−q^n)}{1-q}\)
所以，普通年金现值公式：
\(P=A \times \dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\)
其中， \(\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\) 被称为年金现值系数，Present Value of ordinary Annuity, 记作 \((P/A, i, n)\) 。
普通年金现值公式：
\(P=A \times (P/A, i, n)\)
2.2.2 预付年金现值
与计算预付年金终值的方法类似，通过偏移来达到跟普通年金一样的效果，这样可以推导出公式：
\(P=A \times (P/A, i, n) \times (1+i)\) 。
【例题】甲公司购买一台设备，付款方式为现在付10万元，以后每隔一年付10万元，共计付款6次。假设利率为5%，如果打算现在一次性付款，应该付多少？
答：付款次数为6次，n=6。由公式：P=10×(P/A,5%,6)×(1+5%)=53.29
2.2.3 递延年金现值
所以公式为： \(P=A \times (P/A, i, n) \times (P/F,i, m)\) 。
【例题】某递延年金从第4期开始，每期期末支付10万元，共计支付6次，假设利率为4%，如果打算现在一次性付款，应该付多少？
答：付款次数为6次，n=6。从第4期开始，m+1=4，m=3.由公式：P=10×(P/A,4%,6)×(P/F,4%,3)=10×5.2421×0.8890=46.6
【例题】某递延年金从第4期开始，每期期初支付10万元，共计支付6次，假设利率为4%，如果打算现在一次性付款，应该付多少？
答：付款次数为6次，n=6。从第4期期初开始，m+1=3，m=2.由公式：P=10×(P/A,4%,6)×(P/F,4%,2)=10×5.2421×0.8890=48.47
2.2.4 永续年金现值
永续年金，Perpetual Annuity，是普通年金的极限形式。当普通年金的收付次数为无穷大时，即为永续年金。期数n为无穷大时， \((1+i)^{-n} = 0\) 。
永续年金现值为：
\(P=\dfrac{A}{i}\)
【例题】拟建立一个永久性奖学金，每年计划颁发10000元奖金。若利率为5%，现在应该存入多少？
答：P=10000÷5%=200 000元。
【例题】某年金的收付形式从第一期期初开始，每期支付80元，一直到永远。若利率为5%，其现值为多少？
答：第一次支付发生在第一期期初，不符合永续年金的定义。但是从第二期期初（看作为第一期期末）开始是永续年金。所以将第一期期初值额外加入。P=80+80÷5%=1680元。
3. 年偿债基金和年资本回收额
年偿债基金是指在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。即，已知终值F，求年金A。
年资本回收额是在约定的年限内等额回收初始投入资本的金额。即，已知普通年金现值P，求年金A。
【例题】某家长计划10年后一次性取出50万元作为孩子的出国费用。假设银行存款年利率5%，复利计息，该家长计划1年后开始存款，每年存一次，每次存款数额相同。则每次需要存入多少？
答：F=50，F=A(F/A,5%,10)=12.578A。所以A=3.98万元。
【例题】某人于2019年1月25日按揭贷款买房，贷款金额100万元，年限10年，年利率为6%，从2019年2月25日开始还款，每月换一次，共计还款120次。每次还款金额相同。则每次还款额多少？
答：P=100，P=A(P/A,5%,10)=90.08A。所以A=1.11万元。
4. 利率的计算
4.1 现值或终值系数已知的利率计算
计算步骤：查询系数表；如果系数表没有对应数值，则使用内插法（或插值法）计算。
假设所求利率为i，对应的现值（或终值）系数为B， \(B_1\) 、 \(B_2\) 为现值（或终值）系数表中与B相邻的系数， \(i_1\) ， \(i_2\) 为 \(B_1\) ， \(B_2\) 对应的利率。则可以通过下列方程求解：
\(\dfrac{i_2−i}{i_2−i_1} = \dfrac{B_2-B}{B_2 - B_1}\)
【例题】已知(P/A,I,5)=4.20，求i？
答：查表可知：与4.20相邻的数值为4.2124和4.1002,对应利率分别为6%和7%。利用上述公式，i=6.11%。
4.2 现值或终值系数未知的利率计算
注意：现值系数与利率反向变动，终值系数与利率同向变动。
【例题】已知5×(P/A,I,10)+100×(P/F, I, 10)=104，求i？
答：当i=5%时，原式=100；当i=4%时，原式=108.11；带入上述公式，i=4.51%。
4.3 实际利率计算
一年多次计息的实际利率
一年多次计息时，给出的年利率为名义利率。按照复利计算的年利息与本金的比值为实际利率。计算公式为：
\(i = (1+\dfrac{r}{m})^{m-1}\)
其中，i为实际利率，m为名义利率。m表示每年复利计息的次数。
通货膨胀情况下的实际利率
名义利率包含通货膨胀率。实际利率是剔除通货膨胀率后的真实利率。
\(1+名义利率=(1+实际利率）×（1+通货膨胀率）\)
\(实际利率=\dfrac{1+名义利率}{1+通货膨胀率}-1\)
【例题】2019年我国某商业银行一年期存款年利率为3%，假设通货膨胀率为2%，则实际利率为多少？
答：（1+3%）÷（1+2%）=0.98%。
词汇表
| Word | Abbreviation | Explaination |
|---|---|---|
| Compound Interest | 复利 | |
| Future Value | F | 终值 |
| Present Value | P | 现值 |
| Future value with compound interest | FVI | 复利终值 |
| Future Value Interest Factor | FVIF | 复利终值系数 |
| Present value with compound interest | 复利现值 | |
| Present Value Interest Factor | PVIFi | 复利现值系数 |
| Annuity | A | 年金 |
| Present Value of Annuity | 年金现值 | |
| Present Value Interest Factors for Annuity | PVIFA | 年金现值系数 |
| Future Value Interest Factors for Annuity | fvIFA | 年金终值系数 |
| Ordinary annuity | 普通年金 | |
| Annuity in Arrears | 后付年金 | |
| Annuity in advance | 预付年金 | |
| Deferred Annuity | 递延年金 | |
| Perpetual Annuity | 永续年金 | |
| Present Value of ordinary Annuity | 普通年金现值 | |
| Present value of deferred annuity | 递延年金现值 | |
| Future Value of an Annuity | PVA | 年金终值 |